A³

Fragment einer dreiwertigen Logik

1. Einführung

1.1 Motivation für eine dreiwertige Logik

Zweiwertige Logiksysteme zeichnen sich dadurch aus, dass jede Aussage einen von zwei Wahrheitswerten - wahr oder falsch - annehmen kann. Der einzige logische Junktor, der auf einen einzigen Satz angewendet werden kann, ist die Negation. Wird ein wahrer Satz negiert, ist er falsch und umgekehrt.

Doch was bedeutet es, dass ein Satz negiert wird? Was wird überhaupt negiert? Ein grammatikalisch korrekter Satz besteht aus einem Subjekt und einem Prädikat (Ich lese). Hinzukommen können Objekte (Ich lese ein Buch), Adverbialien (Ich lese aufmerksam) und Attribute (Ich lese ein dickes Buch). Wird der Satz nun negiert, könnte sich die Negation im Grunde genommen auf jedes beliebige Satzglied beziehen: Nicht ich lese, Ich lese nicht, Ich lese kein Buch, Ich lese nicht aufmerksam und Ich lese nicht ein dickes Buch. Während das erste Beispiel impliziert, dass eine andere Person liest, kann dies vom zweiten Beispiel nicht behauptet werden. Das dritte Beispiel ist schwierig zu interpretieren. Bedeutet es, dass ich überhaupt nicht lese, oder nur, dass ich kein Buch lese, dafür aber Zeitschriften? Das vierte und fünfte Beispiel beinhaltet immerhin, dass ich lese. Es können folglich Subjekt, Prädikat, Objekt, Adverbiale und Attribut verneint werden.

Die klassische Logik hat sich dafür entschieden, unter einer Negation die Negation des Prädikats zu verstehen. Das hat aber zur Folge, dass Informationen auf semantischer Ebene verloren gehen können. Wird die Aussage Petra geht nach rechts negiert, so erhält man den Satz Petra geht nicht nach rechts. Wir wissen nun, dass Petra nicht nach rechts geht. Wohin geht sie aber? Geradeaus oder nach links? Während der Ausgangssatz eindeutig war, ist die Negation davon mehrdeutig, in diesem Fall zweideutig.

Wird ein lediglich aus einem Subjekt und Prädikat bestehender Satz wie Ich esse verneint, so erhält man die eindeutige Aussage Ich esse nicht. Wird dem Satz aber ein Objekt hinzugefügt - Ich esse Fleisch - so ist dessen Negation Ich esse nicht Fleisch wiederum mehrdeutig. Auch wenn sich die Negation auf das Prädikat (also essen) bezieht, lässt sich die Aussage nicht nur auf das Essen reduzieren, da ansonsten die Sätze Ich esse und Ich esse Fleisch identisch wären. Eine exakte Negation muss folglich alle Satzglieder miteinbeziehen.

1.2 Das Adjekt

Um das Problem näher zu betrachten, muss an dieser Stelle ein neuer Begriff eingeführt werden: das Adjekt. Der Ausdruck ist eng verwandt mit dem grammatikalischen Begriff des Objekts.

(D1) Adjekt = jenes Satzglied bzw. jene Satzglieder, die dem Subjekt der Aussage durch das Prädikat zugeordnet werden

Der Begriff "Prädikat" wird hier immer im grammatikalischen und nicht im logischen Sinn verwendet. Im Satz Petra liest ein Buch wird dem Subjekt Petra durch das Prädikat liest das Adjekt ein Buch zugewiesen. Wird also das Prädikat negiert, wird damit zugleich auch das Adjekt verneint. Man kann folglich sagen, dass die Negation des Prädikats auf das Adjekt übergeht. Besteht das Adjekt nur aus einem einzigen Begriff, so entspricht dessen Negation dem Gegenteil desselben.

Sieht man sich die Begriffspaare endlich/unendlich und heiß/kalt an, so fällt auf, dass es sich zwar bei beiden um entgegengesetzte Begriffe handelt, dass sie sich aber in einem Punkt wesentlich unterscheiden. Dazu muss man die beiden Begriffe "Komplementarität" und "Kontrarität" näher beleuchten.

Setzt man zwei Ausdrücke, wie zum Beispiel lebendig und tot zueinander in Verbindung, so spricht man von Komplementarität oder oft auch von Kontradiktion, wobei die zwei einander entgegengesetzten, d.h. komplementären Wortinhalte einen bestimmen Bereich dichotomisch in zwei Teile teilen. Daraus folgt, dass bei Richtigkeit einer Aussage einerseits das dazu Komplementäre nicht wahr sein kann, und andererseits dass beide Aussagen nicht zur gleichen Zeit zutreffen können. Wenn die Aussage Dieser Mensch ist lebendig wahr ist, dann kann Dieser Mensch ist tot nicht wahr sein und umgekehrt.

Auf linguistischer Ebene kann Komplementarität durch Negation geschaffen  werden  (vgl. das erwähnte Begriffspaar endlich/unendlich), wobei allerdings nicht jede Verneinung zwei kontradizierende Begriffe ergibt. Besonders eine morphologische Wortnegation, d.h. eine Negation von Wörtern mit dem Präfix "un", setzt zwei Begriffe meistens in die Verbindung der Kontrarität und nicht der Komplementarität.

Bestimmen zwei Begriffe Pole oder Endpunkte einer Skala, auf der es noch Zwischenstufen gibt, so spricht man von Kontrarität oder Antonymie. Das Begriffspaar heiß und kalt teilen einen Bereich nicht genau in zwei Hälften, wie dies bei einer Komplementarität der Fall gewesen wäre, sondern lässt auch Übergänge wie warm zu. Daraus kann geschlossen werden, dass zwei Aussagen wie Das Wasser ist heiß und Das Wasser ist kalt zugleich falsch, aber nicht beide zur gleichen Zeit wahr sein können.

Sieht man sich die anfangs erwähnten Beispiele an, so stellt sich die Frage, wie Begriffe negiert werden, von denen es kein oder zumindest kein genaues Gegenteil gibt. Betrachten wir die Aussage Ich esse Fleisch. Soll dieser Satz verneint werden, so muss das Gegenteil von "Fleisch" bestimmt werden. Ist es Fisch oder Gemüse? In diesem Fall muss man zugeben, dass es unmöglich ist, ein Gegenteil zu bestimmen. Bei dem Beispiel Petra geht nach rechts ist es anders. Das Gegenteil von rechts ist links. Aber die Negation von rechts kann nicht nur links, sondern auch geradeaus sein. Das zeigt uns, dass zwei Zustände, die Aussagen annehmen können bzw. zwei Wahrheitswerte nicht ausreichen, um einen Satz ohne Informationsverlust zu verneinen.

Wir haben also bisher zwei Arten von Aussagen gefunden, solche deren Negation eindeutig ist und solche, bei denen die Verneinung zu mehrdeutigen Aussagen führt. Doch damit ist nicht genug. Betrachtet man die Aussage Die Vase ist grün, so ist ersichtlich, dass es Begriffe gibt, die weder komplementäre noch konträre Gegenteile kennen. Lebendig und tot teilen die Menge aller Elemente dichotomisch in zwei Teile. Heiß ist zwar das Gegenteil von kalt, aber es gibt beliebig viele Nuancen dazwischen. Bei grün ist das nicht möglich, da es kein exaktes Gegenteil davon gibt. Es gibt folglich drei verschiedene Arten von Adjekten:

1) komplementäre Adjekte

2) konträre Adjekte

3) variante Adjekte.

Entsprechend dieser Unterscheidung gibt es drei Satzarten, welche die Basis der Trialistischen Logik bilden. Als Beispiele dienen folgende Aussagen: Ich bin lebendig, Ich kaufe ein dickes Buch und Ich streiche eine Wand mit blauer Farbe. Die wesentlichen Bestandteile der darin vorkommenden Adjekte sind lebendig, dick und blau. Wenn es darum geht, an die Stelle der traditionellen, zweiwertigen Logik ein dreiwertiges System zu setzen, scheint der Begriff lebendig nicht hineinzupassen. Wird der Ausdruck negiert, gibt es scheinbar nur eine Möglichkeit (tot). Man muss allerdings berücksichtigen, dass damit nur der Bereich des Lebendigen abgedeckt wird. Es geht jedoch darum, das gesamte Sein zu beschreiben.

1.3 Das Kriterion

Will man für jedes beliebige Adjekt die drei möglichen Zustandsformen bestimmen, so muss man sich vor Augen halten, dass jedes Adjekt durch ein sogenanntes Kriterion bestimmt ist.

(D2) Kriterion = ein Element, das nicht negiert sein darf und das die Basis für eine bestimmte Eigenschaft bildet

Da sowohl das Kriterion selbst als auch die eigenschaftsbildenden Elemente entweder existieren oder nicht existieren können, gibt es drei Möglichkeiten:

1) die Existenz von eigenschaftsbildenden Elementen

2) die Existenz von nicht-eigenschaftsbildenden Elementen

3) die Nicht-Existenz von eigenschaftsbildenden Elementen.

Das scheint auf den ersten Blick etwas verwirrend zu sein, vor allem deshalb, weil die vierte Möglichkeit (die Nicht-Existenz von nicht-eigenschaftsbildenden Elementen) zu fehlen scheint. Sieht man sich jedoch das folgende Beispiel an, wird ersichtlich, warum Variante 3 und 4 identisch sind.

Dem Ausdruck moralisch liegt das Kriterion "die Moral betreffend" zugrunde. Sind nun die eigenschaftsbildenden Elemente vorhanden, erhält man den positiven Begriff moralisch. Existieren jedoch die verneinten Elemente, wird der Begriff moralisch in traditioneller Weise negiert und wird zu unmoralisch. Sind aber die eigenschaftsbildenden Elemente überhaupt nicht vorhanden, dann gehört den entsprechende Begriff nicht in den Bereich der Moral und wird somit mit amoralisch bezeichnet. Nun wird auch verständlich, warum die dritte und vierte Möglichkeit inhaltlich identisch sind, da die Nicht-Existenz des negierten Kriterions auch die Nicht-Existenz des Kriterions impliziert.

Auch das Beispiel aus Abschnitt 1.2 lässt sich in dieses Schema einordnen. Das Kriterion zu lebendig lautet "Lebensfähigkeit zum aktuellen Zeitpunkt". Ist ein Seiendes aktuell lebensfähig, so ist es lebendig, ist es aktuell lebensunfähig so ist es gestorben. Zeichnet es sich aber durch prinzipielle Lebensunfähigkeit aus, dann spricht man von toten oder nicht lebenden Gegenständen. Analog lässt sich mit dem eingangs erwähnten Beispiel verfahren. Nimmt man als Kriterion die "Richtungsänderung nach rechts", so erhält man das vollständig beschreibende Triplet rechts/links/geradeaus.

Dies hier angewandte Schema lässt sich jedoch nur auf komplementäre und konträre Adjekte anwenden. Unbrauchbar ist die Methode für variante Adjekte, weshalb sich das Schema als Abgrenzungskriterium eignet. Da durch das trialistische Schema Aussagen mit komplementären und konträren Adjekten drei verschiedene Wahrheitswerte annehmen können, gilt es den dritten - neben "wahr" und "falsch" - zu benennen. Ein Satz dieses dritten Typs gehört zwar zu dem Triplet, zeichnet sich aber im Gegensatz zu den anderen beiden durch das Nicht-Vorhandensein von eigenschaftsbildenden Elementen aus, er ist in gewisser Weise verschoben. Deshalb bietet es sich an, die drei Wahrheitswerte der Trialistischen Logik mit "wahr", "falsch" und "verschoben" zu bezeichnen.

(D3) Wahrheitswert = die Wahrheit bzw. Falschheit bzw. Verschobenheit einer Aussage

(K1) Da Aussagen entweder wahr, falsch oder verschoben sind, gibt es genau drei Wahrheitswerte.

(K2) Die Wahrheit bzw. Falschheit bzw. Verschobenheit einer Aussage lässt sich als Wert einer Funktion betrachten, der mit dem eingesetzten Argument variiert.

1.4 Bedeutung für die Metaphysik

Der kritische Leser wird sich fragen, ob die hier vorgestellte Motivation für eine dreiwertige Logik ausreichend und sinnvoll ist, entstehen doch aus der Tatsache, dass eine verneinte Aussage semantisch nicht mehr eindeutig ist, in logischer Hinsicht keine Probleme. Für den Bereich der Endlichkeit erwachsen diesbezüglich auch keine Schwierigkeiten; befasst man sich jedoch mit dem, was über die Endlichkeit hinausgeht, darf es nicht ausreichen, zu sagen, was etwas nicht ist.

Um diesen Umstand besser verständlich zu machen, sei hier ein Beispiel aus dem dritten Teil des Buches angeführt. Im Gegensatz zur Theologie, die ihren Ursprung im Unendlichen sieht, um zum Endlichen zu gelangen, verhält es sich in der Philosophie genau umgekehrt. Diese nimmt ihren Ausgang im Endlichen, um letzten Endes das Unendliche zu erreichen. Sieht man sich die beiden Begriffe genauer an, wird man feststellen, dass unendlich nicht das wahre Gegenteil von endlich sein kann bzw. dass der bisherige Sprachgebrauch nicht präzise genug war. Versteht man unendlich als nicht endlich, so muss man sich fragen, ob das Unendliche wie es bisher verstanden wurde, wirklich nur als nicht endlich gedacht wurde. War es nicht vielmehr so, dass das wahre Unendliche, das Absolute sich ganz wesentlich von dem Endlichen, dem Irdischen unterschied?

Der Begriff des Unendlichen kann verschiedene Bedeutungen besitzen, je nachdem worauf man ihn bezieht. Man spricht von einem unendlich schönen Sonnenuntergang oder von einer unendlichen Gier eines Menschen, doch solche übertragene Bedeutungen der Umgangssprache sind hier nicht gemeint. Gemeint ist vielmehr der Bezug auf Größen wie Raum und Zeit, die wir - wie wir im metaphysischen Teil sehen werden - Kategorien nennen. Nehmen wir als Beispiel die Zeit. Ein Mensch wird geboren und früher oder später muss er sterben. Das irdische oder auch körperliche Leben beginnt mit der Geburt und endet mit dem Tod. Wir bezeichnen dieses Leben im zeitlichen Sinn als endlich.

Wollen wir den wahren Gegensatz des zeitlich Endlichen finden, so ist eine normale, zweiwertige Negation des Begriffes endlich unbrauchbar. Dazu folgendes Gedankenbeispiel. Hätten die Alchimisten des Osten, die nach einem Stoff suchten, der Unsterblichkeit verleiht, diesen gefunden, so würden die Menschen zeitlich gesehen unendlich lange leben. Würden wir dies jedoch als wirkliches Gegenteil des Endlichen sehen? Wohl kaum. Hier betritt nun die Trialistische Logik die Bühne. Gemäß dem Abschnitt 1.3 erhalten wir für zeitliche Größen folgende drei Elemente:

Der wesentliche Unterschied zwischen Unendlichkeit (in trialistisch präziser Bedeutung) und Ewigkeit besteht darin, dass zwar Ewigkeit ebenfalls zeitlich unbegrenzt ist, sich aber außerhalb zeitlicher Meßbarkeit bzw. überhaupt außerhalb von Meß- und Faßbarkeit befindet. Es ist interessant anzumerken, dass die Lateinische Sprache dafür zwei Vokabeln mit genau unterschiedener Bedeutung kennt: sempiternitas und aeternitas.

2. Syntax

Nach den einleitenden Worten und der Begründung für die Aufgabe der traditionellen, zweiwertigen Logik muss nun diese dreiwertige, sogenannte Trialistische Logik aus syntaktischer Sicht beschrieben werden. Da es sich bei den vorliegenden Systemen A³ und A³T um eine Aussagenlogik handelt, bilden nicht-quantisierte Aussagen den Gegenstand der Untersuchung.

Nachdem im Abschnitt 2.1 das Alphabet vorgestellt wurde, wird ersichtlich, dass alle notwendigen logischen Funktionen mit Hilfe eines einzigen Junktors definiert werden können, ein Umstand, dem der Abschnitt 2.2 Rechnung trägt.

2.1 Alphabet

2.1.1 Aussagenvariablen

x, y, z, ...

x₁, x₂, x_3, ...

Eine Aussagenvariable ist ein Buchstabe, mit dem ein atomarer, d.h. aussagenlogisch nicht mehr weiter zerlegbarer Satz bezeichnet wird.  Es handelt sich dabei nicht um eine Variable im eigentlichen Sinn, da im Unterschied zu den Objektvariablen die Aussagenvariablen keine Leerstellen in Aussagen bezeichnen. Sie stellen vielmehr selbständige Aussagesymbole dar, die dazu dienen, die logische Einfachheit einer Aussage zu markieren. In der Trialistischen Logik werden dazu kleine, lateinische Buchstaben mit oder ohne Index verwendet. Einige Beispiele: x bezeichnet die atomare Aussage Das Buch ist teuer, während y für die Aussage Peter und Thomas fahren nach Rom nicht geeignet ist, da es sich dabei um eine komplexe, d.h. zusammengesetzte Aussage handelt.

2.1.2 Junktoren

Der Trialistische Junktor ½ bezeichnet eine Wahrheitsfunktion mit der Bedeutung "weder ... noch ..." und stellt somit die dreiwertige Variante der Negatkonjunktion dar. Die Funktion liefert nur dann den Wert "wahr", wenn weder die erste noch die zweite Aussage wahr sind, d.h. wenn beide Aussagen falsch sind. Ist eine der beiden wahr, so ist die Verknüpfung der Sätze falsch. Für die restlichen Fälle ergibt die Wahrheitsfunktion den Wert "verschoben".

Dieser (finite) Junktor wurde deshalb als Grundjunktor gewählt, da sich mit seiner Hilfe alle weiteren aussagenlogischen Junktoren wie (finite) Negation, Kon­junk­tion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz innerhalb des Systems A³ definieren lassen.

Wie das Kapitel 2.4 zeigen wird, ist das System A³ keineswegs zufriedenstellend, da sich in ihm keine Tautologien in herkömmlichen Sinn bilden lassen. Es werden deshalb an dieser Stelle zwei weitere Basis-Junktoren, der transfinite und der antinomische Junktor, vorgestellt.

Allen drei Junktoren ist gemeinsam, dass sie jeweils nur für einen einzigen Fall, um präziser zu sein, für jenen Fall, in dem beide Aussagen denselben Wahrheitswert besitzen, den Wahrheitswert "wahr" liefern.

Da dies für den ersten Junktor falsche Aussagen sind, lässt sich die Funktion umgangssprachlich mit "weder ... noch ..." wiedergeben. Nur wenn beide Aussagen nicht zutreffen, ist die Verknüpfung wahr. Der zweite Junktor liefert den Wert "wahr" für zwei verschobene Aussagen, während die dritte Funktion "wahr" für zwei wahre Aussagen ergibt.

Mit Hilfe des zweiten und dritten Junktors, die das System A³ zu A³T erweitern, wird es möglich sein, Tautologien im herkömmlichen Sinn zu formulieren.

2.1.3 Operator

Mit Hilfe des Operators !, der mit dem Existenzquantor der traditionellen, zweiwertigen Logik verwandt ist, lassen sich die drei Wahrheitswerte der Trialistischen Logik definieren. Anzumerken ist, dass es sich bei dem Trialistischen Operator nicht um einen prädikatenlogischen Quantor handelt.

Diese Elemente stellen formalisierte Ausdrücke der  im Abschnitt 1.3 erwähnten Zustandsformen des Kriterion dar: die Existenz von eigen­schafts­bildenden Elementen, die Existenz von nicht-eigenschaftsbildenden Elementen und die Nicht-Existenz von eigenschaftsbildenden Elementen.

2.1.4 Hilfszeichen

Die Klammern dienen dazu, bei komplexen Formeln die verschiedenen Ebenen der Verknüpfung auseinander zu halten. Nicht immer ist es sinnvoll, Klammern zu setzen, da dadurch die Formel leicht unüber­sichtlich wird. Deshalb werden folgenden Klammerersparnis-Regeln für den Operator und die im Abschnitt 2.2 definierten Junktoren formuliert:

1) ¬, é und û binden stärker als !, Ù, Ú, ® und «

2) ! bindet stärker als Ù, Ú, ® und «

3) Ù bindet stärker als Ú, ® und «

4) Ú bindet stärker als ® und «

5) ® bindet stärker als «.

2.2 Definitionen

2.2.1 Negation

¬x =def. x|x

Die (finite) Negation ist ein einstelliger Junktor. Er wird auf eine einzige Aussage angewendet, d.h. jedem Wahrheitswert wird wieder ein Wahrheitswert zugewiesen wird. Negiert man eine wahre Aussage, so ist sie falsch, und umgekehrt. Wird hingegen eine verschobene Aussage verneint, so bleibt sie verschoben. 

Wörter, Silben und Wendungen, die eine Negation signalisieren können: nicht; nie; niemals; kein; keineswegs; un-; es ist nicht der Fall, dass; es ist nicht so; auf keinen Fall.

éx =def. x||x

Die transfinite Negation ist ebenfalls eine einstellige Funktion. Wird durch sie eine wahre Aussage negiert, so erhält diese den Wahrheitswert "verschoben".

Da bei allen Negationen des Systems A³T eine doppelte Negation wieder zum ursprünglichen Wahrheitswert führt, lässt jede Verneinung den jeweils dritten Wert unverändert. "verschoben" war dies im Fall der finiten Negation, die bei der Verwendung von lediglich zwei Wahrheitswerten der Negation der traditionellen Logik entspricht. Im Fall der transfiniten Negation ist dies der Wert "falsch".

Um bei den bisher verwendeten Beispielen zu bleiben: é(Das Universum ist zeitlich endlich) \ (Das Universum ist ewig) oder é(Der Autofahrer fährt nach rechts) \ (Der Autofahrer fährt geradeaus).

û x =def. x|||x

Die dritte Negation erhält den Namen antinomische oder imaginäre Negation, da bei ihr der Wahrheitswert "wahr" unverändert bleibt. 

Die Interpretation dieser Negation ist wesentlich schwieriger. Eine wahre Aussage bleibt negiert immer noch wahr. Dies gilt für die Kant'schen Antinomien. Zum Beispiel: Die Welt hat einen Anfang in Raum und Zeit. und Die Welt hat keinen Anfang in Raum und Zeit. Oder eine weitere Antinomie: Es gibt als Teil und Ursache der Welt ein notwendiges Wesen. und Es gibt als Teil und Ursache der Welt kein notwendiges Wesen.

Nachdem nun drei verschiedene Negationen vorgestellt wurden, drängt sich die Frage auf, inwieweit doppelte bzw. dreifache Negationen definiert sind und wie sie miteinander in Verbindung stehen.  Es zeigt sich, dass - unabhängig davon, um welche Negation es sich handelt - die doppelte Negation im System A³T jener der traditionellen Logik entspricht.

Die einzelnen Negationen lassen sich jedoch auch beliebig miteinander kombinieren.

Aus den drei Wahrheitstafeln lassen sich drei Erkenntnis ableiten:

1) die Kombinationen trialisischer Negationen sind nicht kommutativ;

2) alle Wahrheitswerte sind gleichmäßig verstreut;

3) es gibt genau drei verschiedenen Verteilungen der Wahrheitswerte:

Werden alle drei Negationen miteinander kombiniert, ergeben sich folgende Wahrheitstafeln:

Auch bei diesen dreifachen Negationen lassen sich drei verschiedene Wahrheitswertverteilungen feststellen:

2.2.2 Konjunktion

x Ù y =def. (x½x) ½ (y½y)

Die Konjunktion ist ein zweistelliger Junktor. Er verbindet zwei Aussagen miteinander, d.h. jedem Paar von Wahrheitswerten wird durch die Funktion ein Wahrheitswert zugewiesen. Nur wenn beide Aussagen wahr sind, ist auch die Konjunktion wahr. Ist mindestens einer der beiden Sätze falsch, so ist auch die Verbindung falsch. In allen übrigen Fällen, d.h. bei einer Konjunktion einer wahren und einer verschobenen Aussage (wobei die Reihenfolge unwichtig ist) oder zwei verschobenen Aussagen, ist das Ergebnis verschoben. Die Beziehung der Konjuktion ist kommutativ.

Wörter und Wendungen, die eine Konjunktion signalisieren können: und; auch; sowohl ... als auch; obwohl; sogar; aber (auch); nicht nur ... sondern auch; jedoch (auch); obzwar; während; doch (schon); doch (immerhin); nicht allein ... (sondern) auch.

2.2.3 Disjunktion

x Ú y =def. (x½y) ½ (x½y)

Die Disjunktion ist wie die Konjunktion eine zweistellige Funktion. Sie ist wahr, wenn mindestens eines der beiden Glieder wahr ist. Die Funktion liefert das Ergebnis "falsch", wenn beide Aussagen falsch sind. Für die restlichen Fälle ergibt sich der Wert "verschoben". Auch die disjunktive Funktion ist kommutativ.

Wörter und Wendungen, die eine Disjunktion signalisieren können: oder; außer wenn; es sei denn, dass.

2.2.4 Materiale Implikation

x ® y =def. ((x½x)½y) ½ ((x½x)½y)

Auch die materiale Implikation verbindet zwei Sätze. Der Begriff "Implikation" stammt von dem lateinischen Wort "implicare" mit der Bedeutung "hineinwickeln". Es wird heute meistens im Sinne von "einbeziehen, beinhalten" verwendet. Im Gegensatz zu Konjunktion und Disjunktion ist die materiale Implikation nicht kommutativ. Die Wahrheitswerte erhält man, indem man die Äquivalenz von (x ® y) und (¬x Ú y) der traditionellen Logik auf die drei Wahrheitswerte anwendet. Sie entspricht damit der dreiwertigen Implikation, die bereits 1938 von Stephen Kleene definiert worden ist.

Wörter und Wendungen, die eine Implikation signalisieren können: wenn ... (dann); sofern; nur wenn; wenn ... so; aus ... folgt, dass; nur sofern; im Fall dass; ist ... der Fall, so auch; nur im Fall dass; vorausgesetzt, dass; impliziert, dass; ist eine hinreichende Bedingung für; ist eine notwendige Bedingung für. 

2.2.5 Äquivalenz

x « y =def. ((((x½x)½y) ½ ((x½x)½y)) ½ (((x½x)½y) ½ ((x½x)½y))) ½ 

((((y½y)½x) ½ ((y½y)½x)) ½ (((y½y)(x) ½ ((y½y)½x)))

Der Junktor der Äquivalenz verbindet zwei Aussagen kommutativ. Haben beide Sätze denselben (unverschobenen) Wahrheitswert, so ist die Verbindung wahr. Sind sie verschieden, so ergibt die Funktion den Wert "falsch". In allen anderen Fällen, d.h. jenen Fällen, in denen mindestens eine Aussage verschoben ist, liefert sie den Wert "verschoben".

Wörter und Wendungen, die eine Äquivalenz signalisieren können: genau dann, wenn; dann und nur dann; ist notwendig und hinreichend.

2.3 Bildungsregeln für wohlgeformte Formeln (wff)

Wichtig für die Definition eines logischen Systems ist die Aufstellung von Regeln, wie korrekte Zeichenreihen, sogenannte wohlgeformte Formeln, generiert werden können. Die Abkürzung "wff" steht dabei für den englischen Ausdruck "well-formed formula" und hat sich inzwischen in der Philosophie durchgesetzt. Die Symbole "A" und "B" bezeichnen Aussageformen.

Im folgenden werden neun Regeln vorgestellt, mit deren Hilfe es möglich ist, jede syntaktisch richtige Formel zu bilden. Während sich die Regeln 1 bis 6 mit den Formeln befassen, die lediglich aus Aussagevariablen und Junktoren gebildet werden, beziehen die Regeln 7 bis 9 den Trialistischen Operator mit ein. Zeichenreihen, die sich nicht aufgrund der vorliegenden Gesetze formen lassen, sind im Sinne der Trialistischen Logik unkorrekt gebildet und somit nicht gültig.

2.4 Tautologien

Immanuel Kant hat zwischen analytischen und synthetischen Aussagen unterschieden. Unter analytischen Aussagen verstand er solche, die a priori (also unabhängig von jeder Erfahrung) schon aufgrund der Bedeu­tungen der in ihnen enthaltenen Teile wahr sind. Beispiele für analytische Sätze aus der Umgangssprache sind Kreise sind rund, Junggesellen sind unverheiratet oder Was so bleibt, wie es ist, verändert sich nicht. Der Satz Der Kreis A ist  rund ist unabhängig von der uns umgebenden Wirklichkeit wahr, im Gegensatz zur Aussage Der Kreis A ist grün.

(D4) Tautologie = eine Aussageform, bei der man bei jeder Einsetzung von beliebigen wahren oder falschen Aussagen eine wahre Aussage erhält

In der traditionellen Logik werden analytische Aussagen untersucht, die allein aufgrund der Bedeutungen der in ihnen enthaltenen Junktoren wahr sind. Beispielen dafür sind Alle Menschen sind schwarz oder nicht, Es ist nicht der Fall, dass die Zahl 3 sowohl gerade als auch ungerade ist oder Vorausgesetzt dass, wenn es schneit, die Straße eisig ist, so schneit es nicht, wenn die Straße nicht eisig ist.

Die drei erwähnten Beispiele haben folgende logischen Formen: